Cuaderno de estudio

Matemáticas II

Todo lo necesario para callarle la boquita a Antonio Andrés: definiciones, teoremas, fórmulas clave, métodos paso a paso, ejemplos resueltos y los errores que más penalizan en la PBAU.

2º de Bachillerato — Illes Balears

Definición

Teorema / fórmula

Método paso a paso

Error frecuente

Bloque I

Álgebra

Matrices, determinantes y sistemas lineales: el lenguaje para resolver muchas ecuaciones a la vez.

1 Matrices

Definición

Una matriz $A=(a_{ij})$ de orden $m \times n$ es una tabla de $m$ filas y $n$ columnas. El elemento $a_{ij}$ ocupa la fila $i$ y la columna $j.

Tipos básicos

Cuadrada ($m=n$); su diagonal principal son los $a_{ii}$.
Identidad $I_n$: unos en la diagonal y ceros fuera. Cumple $A \cdot I = I \cdot A = A$.
Traspuesta $A^{t}$: se intercambian filas por columnas.
Simétrica ($A^{t}=A$) y antisimétrica ($A^{t}=-A$).
Triangular (ceros por encima o por debajo de la diagonal) y diagonal.

Operaciones

Suma (mismo orden) y producto por escalar: elemento a elemento.

Producto de matrices

$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p}$, donde cada elemento es fila por columna:

$c_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$

Solo se pueden multiplicar si las columnas de $A$ coinciden con las filas de $B$.

Errores frecuentes

El producto no es conmutativo: en general $A \cdot B \neq B \cdot A$.
$A \cdot B = \mathbf{0}$ no implica que $A=\mathbf{0}$ o $B=\mathbf{0}$.
$(A \cdot B)^{t} = B^{t} \cdot A^{t}$ — ¡se invierte el orden!

Potencias y ecuaciones

$A^{n} = A \cdot A \cdots A$ ($n$ veces). Para potencias altas conviene calcular $A^2$, $A^3$ y buscar un patrón (por inducción). En ecuaciones matriciales, despeja teniendo cuidado con el orden y multiplicando por $A^{-1}$ por el lado correcto.

2 Determinantes

El determinante $\det(A) = |A|$ es un número asociado a una matriz cuadrada. Si $|A| \neq 0$ la matriz es regular (invertible); si $|A| = 0$ es singular.

Orden 2 $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a d - b c$$

Orden 3 · Regla de Sarrus $$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - (a_3 b_2 c_1 + a_1 b_3 c_2 + a_2 b_1 c_3)$$

Desarrollo por adjuntos (Laplace)

Para órdenes $\ge 3$, elige la fila o columna con más ceros y desarrolla:

$|A| = \displaystyle\sum_{j} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}$

$M_{ij}$ es el menor (determinante que queda al tachar la fila $i$ y la columna $j$). El signo $(-1)^{i+j}$ sigue el tablero de ajedrez $\begin{smallmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{smallmatrix}$.

Propiedades clave

$|A^{t}| = |A|$ y $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.
Si una fila/columna es de ceros, o hay dos proporcionales, entonces $|A| = 0$.
Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
Multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$. Por eso $|k \cdot A| = k^{n} |A|$ (orden $n$).
Sumar a una fila una combinación lineal de otras no altera el determinante (esto permite "hacer ceros" antes de desarrollar).

3 Matriz inversa

Definición

$A^{-1}$ es la matriz que cumple $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$. Existe si y solo si $|A| \neq 0$.

Inversa por adjuntos $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \big(\operatorname{Adj}(A)\big)^{t}$$

$\operatorname{Adj}(A)$ es la matriz de adjuntos: se sustituye cada elemento por su adjunto $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. Después se traspone y se divide entre el determinante.

Método paso a paso (adjuntos)

Calcula $|A|$. Si es $0$, no hay inversa y paras.
Construye la matriz de adjuntos $\operatorname{Adj}(A)$.
Traspón: $(\operatorname{Adj}(A))^{t}$.
Divide todo entre $|A|$.
Comprueba multiplicando: $A \cdot A^{-1}$ debe dar $I$.

Alternativa · Gauss–Jordan

Coloca $(A \mid I)$ y, mediante operaciones por filas, transforma la izquierda en $I$. La derecha se convierte en $A^{-1}$: $(A \mid I) \to (I \mid A^{-1})$.

Despejar en ecuaciones matriciales

Recuerda multiplicar por $A^{-1}$ por el mismo lado en que aparece $A$:

$A \cdot X = B \implies X = A^{-1} B$ (por la izquierda).
$X \cdot A = B \implies X = B A^{-1}$ (por la derecha).

4 Rango de una matriz

Definición

El rango $\operatorname{rg}(A)$ es el orden del mayor menor no nulo; equivale al número de filas (o columnas) linealmente independientes.

Cálculo por menores (orlados)

Busca un elemento $\neq 0$: el rango es al menos $1$.
Orla con una fila y columna formando un menor $2 \times 2 \neq 0$: rango al menos $2$.
Sigue orlando. Si todos los menores de orden $k+1$ que contienen al menor no nulo de orden $k$ valen $0$, entonces $\operatorname{rg}(A) = k$.

También puedes usar Gauss: escalona por filas y cuenta las filas no nulas que quedan.

Rango con parámetro

Si la matriz depende de $\lambda$, iguala a $0$ el determinante de mayor orden, resuelve $\lambda$, y discute el rango para cada valor crítico y para el resto.

5 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema $A \cdot X = B$ tiene matriz de coeficientes $A$ y matriz ampliada $A^{*} = (A \mid B)$. Clasificación:

Compatible determinado (SCD): solución única.
Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones.
Incompatible (SI): sin solución.

Teorema de Rouché–Frobenius

Sea $n$ el número de incógnitas:

$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = n \implies$ SCD.
$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = r < n \implies$ SCI con $\infty^{n-r}$ soluciones ($n-r$ parámetros).
$\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^{*}) \implies$ SI.

Métodos de resolución

Regla de Cramer (cuando $|A| \neq 0$)

$\displaystyle x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$, donde $A_i$ es $A$ sustituyendo la columna $i$ por la de términos independientes $B$.

Para sistemas no cuadrados o con $|A| = 0$, usa el método de Gauss (escalonado por filas) o despeja con $A^{-1}$ si es cuadrado y regular.

Sistemas homogéneos ($B = \mathbf{0}$)

Siempre son compatibles (la solución $X = \mathbf{0}$ siempre vale). Son SCD (solo la trivial) si $|A| \neq 0$, y SCI (infinitas) si $|A| = 0$.

Discusión con parámetro · plan EBAU

Calcula $|A|$ y resuelve $|A| = 0$: obtienes los valores críticos del parámetro.
Para los valores que hacen $|A| \neq 0$: por Cramer/Rouché es SCD.
Para cada valor crítico: sustituye, recalcula $\operatorname{rg}(A)$ y $\operatorname{rg}(A^{*})$ y clasifica (SCI o SI).
Si piden, resuelve el sistema en el caso SCI dejándolo en función del parámetro libre.

Ejemplo · discusión

Discute $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + \lambda y + z = 2 \\ x + y + \lambda z = 1 \end{cases}$

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2$. Se anula en $\lambda = 1$.

Si $\lambda \neq 1$: $|A| \neq 0 \implies$ SCD. Si $\lambda = 1$: las tres ecuaciones tienen el mismo primer miembro pero términos independientes $1, 2, 1$, luego $\operatorname{rg}(A) = 1 \neq \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 \implies$ SI.

Bloque II

Geometría en el espacio

Vectores, rectas y planos en $\mathbb{R}^3$, y todo lo que se mide entre ellos: ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

6 Vectores en el espacio

Un vector $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ en $\mathbb{R}^3$. El vector que une $A(a_1, a_2, a_3)$ con $B(b_1, b_2, b_3)$ es $\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, \, b_2 - a_2, \, b_3 - a_3)$ — siempre extremo menos origen.

Módulo de un vector $$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2} + v_3^{2}}$$

Dependencia lineal y bases

Dos vectores son linealmente dependientes (paralelos) si son proporcionales ($\vec{u} \parallel \vec{v}$).
Tres vectores son linealmente independientes si el determinante formado con sus coordenadas es $\neq 0$; en ese caso forman una base de $\mathbb{R}^3$.
Cuatro puntos son coplanarios si $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ son linealmente dependientes (producto mixto $= 0$).

7 Productos: escalar, vectorial y mixto

Producto escalar (da un número)

Producto escalar $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha$$

Sirve para el ángulo entre vectores y para la ortogonalidad:

Ángulo · perpendicularidad $$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \qquad\qquad \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Producto vectorial (da un vector)

Producto vectorial $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

$\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ a la vez (muy útil para hallar vectores normales). Su módulo es el área del paralelogramo:

Área del paralelogramo $$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin \alpha$$

Producto mixto (da un número)

Producto mixto $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

El volumen del paralelepípedo es su valor absoluto; tres vectores son coplanarios si vale $0$.

Resumen rápido — qué uso para…

Ángulo entre dos elementos $\implies$ producto escalar.
Vector perpendicular a dos vectores $\implies$ producto vectorial.
Área de triángulo $= \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$ · volumen de tetraedro $= \frac{1}{6} |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$.

8 La recta en el espacio

Una recta queda determinada por un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$.

Ecuaciones de la recta

Vectorial: $(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t \cdot (v_1, v_2, v_3)$

Paramétricas: $\begin{cases} x = x_0 + t \cdot v_1 \\ y = y_0 + t \cdot v_2 \\ z = z_0 + t \cdot v_3 \end{cases}$

Continua: $\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2} = \dfrac{z - z_0}{v_3}$

Si te dan dos puntos $A$ y $B$, el director es $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$. La recta también puede venir como intersección de dos planos (su director es $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$).

9 El plano

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores, o por un punto y un vector normal $\vec{n}$.

Ecuaciones del plano

General (o implícita): $A x + B y + C z + D = 0$, con vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$.

Punto–normal: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Paramétrica: $(x, y, z) = P + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$.

Truco

El vector normal de $A x + B y + C z + D = 0$ se lee directamente en los coeficientes: $\vec{n} = (A, B, C)$. Si tienes dos directores, $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$.

10 Posiciones relativas

Dos rectas

Compara los directores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y el vector $\overrightarrow{PQ}$ que une un punto de cada una:

Coincidentes: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ y comparten puntos.
Paralelas: $\vec{u} \parallel \vec{v}$ pero sin puntos comunes.
Secantes (se cortan): $\vec{u} \nparallel \vec{v}$ y $[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{PQ}] = 0$ (coplanarias).
Se cruzan: $\vec{u} \nparallel \vec{v}$ y $[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{PQ}] \neq 0$.

Recta y plano

Compara el director $\vec{v}$ con la normal $\vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0 \implies$ se cortan en un punto.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies$ paralela (si el punto no está en el plano) o contenida (si sí está).

Dos planos

Compara las normales $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$: si son proporcionales, los planos son paralelos o coincidentes; si no, se cortan en una recta. Formalmente se discute con el rango del sistema de las dos ecuaciones.

11 Ángulos

En los tres casos se toma valor absoluto en el numerador para quedarnos con el ángulo agudo.

Entre dos rectas $$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

Entre dos planos $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

Entre recta y plano (¡seno!) $$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$$

Error frecuente

El ángulo recta–plano usa el seno (no el coseno), porque medimos respecto a la normal y luego completamos a $90^\circ$.

12 Distancias, áreas y volúmenes

Punto a punto $$d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$$

Punto a plano $$d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Punto a recta $$d(P, r) = \frac{|\overrightarrow{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} \quad (A \in r)$$

Entre dos rectas que se cruzan $$d(r, s) = \frac{\big|[\,\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}\,]\big|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$

Áreas y volúmenes (resumen)

Área del triángulo $ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$.
Volumen del tetraedro $ABCD = \frac{1}{6} \big|[\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\,]\big|$.
Volumen del paralelepípedo $= \big|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\big|$.

Distancias entre elementos paralelos · truco

$d$ entre planos paralelos: toma un punto de uno y aplica la fórmula punto–plano con el otro.
$d$ entre recta y plano paralelos: toma un punto de la recta y mide al plano.
$d$ entre rectas paralelas: toma un punto de una y aplica punto–recta a la otra.

Bloque III

Análisis

Límites, continuidad, derivadas e integrales: el corazón de la asignatura y de la EBAU.

13 Límites e indeterminaciones

$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$. Existe si y solo si coinciden los límites laterales: $\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x)$.

Las 7 indeterminaciones

$\dfrac{0}{0} \quad \dfrac{\infty}{\infty} \quad \infty - \infty \quad 0 \cdot \infty \quad 1^{\infty} \quad 0^{0} \quad \infty^{0}$

Cómo resolver cada caso

$\tfrac{0}{0}$ con polinomios: factoriza (Ruffini) y simplifica el factor $(x-a)$.
$\tfrac{0}{0}$ con raíces: multiplica por el conjugado.
$\tfrac{\infty}{\infty}$ de polinomios: manda el grado mayor. Compara grados del numerador y denominador.
$\infty-\infty$: opera (común denominador) o multiplica por el conjugado para convertirlo en cociente.
$1^{\infty}$: usa la fórmula del número $e$ (abajo).
Cualquiera del tipo $\tfrac00$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ se puede atacar con L'Hôpital.

Indeterminación 1^∞ $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\,\lim\limits_{x \to a} g(x) \cdot \big(f(x) - 1\big)} \quad \text{(si } f \to 1, \ g \to \infty)$$

Regla de L'Hôpital

Si $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ da $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, entonces $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (si este último existe). Se puede aplicar varias veces seguidas.

Asíntotas

Vertical en $x=a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$.
Horizontal $y=L$ si $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.
Oblicua $y = m x + n$ (solo si no hay horizontal) con $m = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \displaystyle\lim_{x \to \infty} \big(f(x) - m x\big)$.

14 Continuidad

Definición

$f$ es continua en $x=a$ si se cumplen las tres a la vez: (1) existe $f(a)$, (2) existe $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ y (3) $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Tipos de discontinuidad

Evitable: existe el límite pero no coincide con $f(a)$ (o $f(a)$ no existe).
De salto finito: los límites laterales existen pero son distintos.
De salto infinito (asintótica): algún límite lateral es $\pm\infty$.

Teorema de Bolzano

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$ (cambia de signo), entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ con $f(c) = 0$. Es la herramienta estándar para probar que hay una raíz.

Teorema de Weierstrass · Teorema de Darboux

Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos (Weierstrass) y toma todos los valores intermedios (Darboux).

En funciones definidas a trozos, estudia la continuidad en los puntos de empalme imponiendo que coincidan los límites laterales con el valor de la función (suele aparecer con un parámetro a despejar).

15 Derivadas

Definición $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Interpretación: $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente en $x=a$ (y la velocidad instantánea en física). La recta tangente es $y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$.

Derivabilidad

$f$ es derivable en $a$ si existen y coinciden las derivadas laterales. Derivable $\implies$ continua (pero no al revés: $|x|$ es continua en $0$ y no derivable).

Tabla de derivadas

Función	Derivada	Función	Derivada
$x^{n}$	$n \cdot x^{n-1}$	$\sin x$	$\cos x$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\cos x$	$-\sin x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
$a^{x}$	$a^{x} \cdot \ln a$	$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^{2}}$

Reglas de derivación

Producto · cociente · cadena $$(u \cdot v)' = u' v + u v' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} \qquad \big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Derivación logarítmica — para $f(x)^{g(x)}$

Cuando hay variable en la base y en el exponente, toma logaritmos: $\ln y = g(x) \cdot \ln f(x)$, deriva implícitamente y despeja $y'$. También sirve para productos/cocientes muy largos.

16 Aplicaciones de la derivada

Monotonía y extremos (con $f'$)

$f'(x) > 0 \implies$ creciente; $f'(x) < 0 \implies$ decreciente.
Extremos relativos: candidatos donde $f'(x) = 0$. Hay máximo si $f'$ pasa de $+$ a $-$, y mínimo si pasa de $-$ a $+$.

Curvatura y puntos de inflexión (con $f''$)

$f''(x) > 0 \implies$ cóncava hacia arriba ($\cup$); $f''(x) < 0 \implies$ cóncava hacia abajo ($\cap$).
Punto de inflexión donde $f'' = 0$ y cambia el signo de $f''$.
Criterio de la 2.ª derivada: si $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0$ hay mínimo; si $f''(a) < 0$ hay máximo.

Teoremas de Rolle y del valor medio (Lagrange)

Rolle: si $f$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$, existe $c \in (a, b)$ con $f'(c) = 0$.

Lagrange: con las mismas hipótesis (sin pedir $f(a) = f(b)$), existe $c$ con $\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Problemas de optimización · receta

Identifica la magnitud a optimizar y escríbela como función.
Usa la condición/ligadura del enunciado para dejarla con una sola variable.
Deriva, iguala a cero y resuelve $f'(x) = 0$.
Comprueba que es máximo o mínimo (signo de $f'$ o de $f''$).
Responde a lo que se pregunta (¡y con unidades!).

17 Representación de funciones

Estudio completo · guion

Dominio y posibles simetrías (par/impar) y periodicidad.
Cortes con los ejes y signo de la función.
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
Monotonía y extremos con $f'$.
Curvatura e inflexiones con $f''$.
Tabla de valores y gráfica reuniendo todo.

No hace falta calcular muchísimos puntos: la gráfica se construye con la información cualitativa (dominio, asíntotas, crecimiento, concavidad).

18 Integral indefinida

Definición

$\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + C$ donde $F$ es una primitiva de $f$, es decir $F'(x) = f(x)$. La constante $C$ recoge todas las primitivas.

Integrales inmediatas

Integral	Resultado	Integral	Resultado
$\int x^{n} \, dx$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)	$\int \sin x \, dx$	$-\cos x + C$
$\int \dfrac{1}{x} \, dx$	$\ln\|x\| + C$	$\int \cos x \, dx$	$\sin x + C$
$\int e^{x} \, dx$	$e^{x} + C$	$\int \dfrac{1}{\cos^{2}x} \, dx$	$\tan x + C$
$\int a^{x} \, dx$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a} + C$	$\int \dfrac{1}{1+x^{2}} \, dx$	$\arctan x + C$

Métodos de integración

Integración por partes $$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$

Regla mnemotécnica para elegir $u$ — ALPES: Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/cosenos (prioridad de arriba abajo).

Cambio de variable (sustitución)

Elige $t = g(x)$ (algo cuya derivada aparezca en la integral).
Calcula $dt = g'(x) \, dx$ y sustituye todo en función de $t$.
Integra en $t$ y deshaz el cambio volviendo a $x$.

Funciones racionales (fracciones simples)

Si el grado del numerador $\ge$ el del denominador, divide primero.
Factoriza el denominador y descomponlo en fracciones simples.
Integra cada trozo (salen logaritmos y/o arcotangentes).

19 Integral definida

Regla de Barrow

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, siendo $F$ una primitiva de $f$. (No se escribe la $+C$, se cancela.)

Propiedades

$\displaystyle\int_a^b f = -\int_b^a f$ y $\displaystyle\int_a^a f = 0$.
$\displaystyle\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ (aditiva respecto al intervalo).

Teorema fundamental del cálculo

Si $F(x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \, dt$, entonces $F'(x) = f(x)$. Conecta derivar e integrar como operaciones inversas.

Aplicación 1 · Área entre curvas

Área encerrada $$A = \int_{a}^{b} \big| \, f(x) - g(x) \, \big| \, dx$$

Error frecuente

Si la función cambia de signo (o las curvas se cruzan) en $[a, b]$, hay que partir la integral en los puntos de corte y sumar áreas en valor absoluto. Integrar sin el valor absoluto puede dar un área "negativa" o falsamente pequeña.

Aplicación 2 · Volumen de revolución

Giro alrededor del eje X $$V = \pi \cdot \int_{a}^{b} \big[f(x)\big]^{2} \, dx$$

Ejemplo · área

Área entre $f(x)=x^2$ y $g(x)=x$. Cortes: $x^2 = x \implies x=0, \, x=1$. En $(0,1)$, $g \ge f$, así que

$A = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Bloque IV

Probabilidad y Estadística

Probabilidad condicionada, Bayes y las distribuciones binomial y normal.

20 Probabilidad

El espacio muestral $E$ es el conjunto de resultados posibles; un suceso es un subconjunto de $E$. La regla de Laplace (casos equiprobables):

Regla de Laplace $$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$

Operaciones y axiomas

$0 \le P(A) \le 1$, $P(E) = 1$, $P(\varnothing) = 0$.
Complementario: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Probabilidad de la unión $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si $A$ y $B$ son incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), entonces $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Probabilidad condicionada e independencia

Condicionada $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$

Sucesos independientes

$A$ y $B$ son independientes si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, o equivalentemente $P(A \mid B) = P(A)$.

No confundir

Incompatibles ($A \cap B = \varnothing$) y independientes ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$) son cosas distintas. De hecho, dos sucesos con probabilidad no nula que son incompatibles nunca son independientes.

Probabilidad total y teorema de Bayes

Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ forman un sistema completo (se reparten todo $E$ sin solaparse):

Probabilidad total $$P(B) = \sum_{i} P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)$$

Teorema de Bayes $$P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)}{\displaystyle\sum_{j} P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)}$$

Truco · diagrama de árbol

Casi todos estos problemas se resuelven con un árbol: primer nivel = causas $A_i$ (sus probabilidades suman 1), segundo nivel = el suceso $B$ condicionado. Probabilidad total = sumar todas las ramas que llevan a $B$. Bayes = (una rama) $\div$ (suma de ramas que llegan a $B$).

Ejemplo · Bayes

Dos máquinas fabrican piezas: $A_1$ produce el $60\%$ (con $3\%$ defectuosas) y $A_2$ el $40\%$ (con $5\%$ defectuosas). Si una pieza es defectuosa ($D$), ¿probabilidad de que venga de $A_1$?

$P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}03 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}038$.

$P(A_1 \mid D) = \dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}03}{0{,}038} = \dfrac{0{,}018}{0{,}038} \approx 0{,}474$.

21 Combinatoria (repaso)

Herramienta para contar "casos posibles". La pregunta clave: ¿importa el orden? ¿se pueden repetir elementos?

Concepto	Fórmula	¿Orden?
Permutaciones	$P_n = n!$	Sí (se usan todos)
Variaciones	$V_{n,k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}$	Sí
Combinaciones	$C_{n,k} = \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$	No

El número combinatorio $\binom{n}{k}$ es justo el que aparece en la distribución binomial y en el binomio de Newton.

22 Distribución binomial

Cuándo se usa · B(n, p)

Cuando repites $n$ veces un experimento independiente con solo dos resultados (éxito/fracaso), siendo $p$ la probabilidad de éxito constante. $X =$ "número de éxitos".

Función de probabilidad $$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$$

Media y desviación típica $$\mu = n \cdot p \qquad\qquad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$$

Recuerda que $q=1-p$. Para "al menos uno" suele ser más rápido el complementario: $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.

Ejemplo · binomial

Se lanza una moneda $5$ veces ($p=0{,}5$). ¿Probabilidad de exactamente $3$ caras?

$P(X=3) = \dbinom{5}{3} \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot 0{,}03125 = 0{,}3125$.

23 Distribución normal

N(μ, σ)

Variable continua con forma de campana de Gauss, simétrica respecto a la media $\mu$. La $N(0,1)$ se llama normal estándar y su variable se denota $Z$.

Tipificación $$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$

Tipificar convierte cualquier $N(\mu,\sigma)$ en una $N(0,1)$ para poder usar la tabla, que da $P(Z \le z)$.

Cálculo de probabilidades con la tabla

Tipifica el valor: $z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$.
$P(Z \le z)$ se lee directo en la tabla.
$P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z)$.
Para $z$ negativos usa la simetría: $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.
Intervalo: $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

Aproximación binomial → normal

Si $n$ es grande y se cumple $n \cdot p > 5$ y $n \cdot q > 5$, la binomial $B(n,p)$ se aproxima por una normal $N\big(n \cdot p, \, \sqrt{n \cdot p \cdot q}\,\big)$.

Corrección de continuidad

Al pasar de discreta (binomial) a continua (normal), ajusta $\pm 0{,}5$: por ejemplo $P(X=k) \approx P(k-0{,}5 \le X \le k+0{,}5)$ y $P(X \le k) \approx P(X \le k+0{,}5)$. Olvidar el $0{,}5$ es uno de los fallos más típicos.

Regla 68 – 95 – 99,7

En cualquier normal, alrededor del $68\%$ de los datos cae en $\mu \pm \sigma$, el $95\%$ en $\mu \pm 2\sigma$ y el $99{,}7\%$ en $\mu \pm 3\sigma$. Útil para estimar de cabeza y detectar errores.

Para rematar

Gracias por leer todo esto, corazones. Os quiero a todos los que hayáis leído esto. Recordad, en el examen valoran mucho el procedimiento ordenado y justificado, no solo el resultado.